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线性时不变系统的稳定性分析

  线性时不变(Linear Time Invariant,简称LTI)系统指满足叠加性与均匀性、参数不随时间改变的系统。所谓稳定系统指如果系统受到有界扰动,无论它的初始偏差有多大,当扰动取消后.都能以足够的准确度恢复到初始的平衡状态。稳定性是系统自身的性质之一,它在宇宙航行、导弹制导等自动控制系统中是一个重要的性能指标。为了实现自动控制的基本任务。系统必须满足稳定性。然而,系统是否稳定,与激励信号的情况无关。通常,系统在激励作用下的响应r(t)可分为瞬态响应rtt和稳态响应rss。前者,表示系统在激励作用下的通解.是系统齐次微分方程的解,只与系统本身的参数有关,而与激励和初始条件无关;后者,表示系统在激励作用下的特解,与激励和初始条件有关。系统的冲击响应h(t)或系统函数H(s)集中表征了系统的本性,当然它们也反映了系统是否稳定。因此,研究系统的稳定性,可从时域或频域两个方面进行。

  频域指复频域即s域。从频域考虑,线性控制系统的稳定充要条件是H(s)的所有极点,即系统的特征方程根都具有负实部,或者说都位于s的左半平面。这相当于系统的冲击响应满足:

  如果特征方程根中任一根为正,即位于s的右半平面,它所对应的指数项将随时间而单调增长,整个系统因此而不稳定。同样,具有正实部的共轭复根所对应的瞬态响应是发散的正弦振荡。如果共轭复根位于s平面的虚轴上,则对应的瞬态响应为等幅正弦振荡。应当说明,等幅振荡的线性系统实际上是不存在的,而发散过程的系统,也并不意味着输出量会无限增大。实际控制系统的输出量只能增大到一定的范围,超出此范围或者受到机械止动装置的限制,或者系统遭到破坏,或者其运动形态超出线性理论所研究的范围而进入非线性工作状态,以致产生等幅振荡。

  从时域考虑,稳定系统的另一种定义方式是:若系统对任意的有界输入,其零状态响应也是有界的,则称该系统为稳定系统,也称之为有界输入和有界输出(BIBO)稳定系统。

  当所有的e(t)满足式(2)时,r(t)亦满足式(3),此时称该系统是稳定的。若按该定义逐个检验各种可能的e(t)满足式(2)和式(3)判断系统稳定性将过于繁琐。为此,推导出稳定系统的充要条件为:

  该方法属于频域判断法。对于因果系统,观察在时间t时,h(t)是增长,还是趋于有限值或者消失,既可确定系统的稳定性。研究H(s)在s平面中的极点分布位置,可方便地给出有关稳定性的结论。按H(s)在s平面中的极点分布位置,因果系统可划分为稳定系统、不稳定系统、临界稳定系统3种情况。

  (1)稳定系统若H(s)的全部极点均落于s的左半平面(不含虚轴),则可满足lim[h(t)]=0,此时系统是稳定的。

  (2)不稳定系统 若H(s)的极点落于s的右半平面或在虚轴上具有二阶以上极点,经足够长时间后h(t)仍在继续增长,系统是不稳定的。

  (3)临界情况 若H(s)的极点落于s的平面虚轴上.且只有一阶,则经足够长时间后,h(t)趋于一个非零的数值或等幅振荡,而处于上述两种类型的临界情况,与(2)一起列为不稳定系统。

  在此,以图1所示控制系统为例,说明如何利用H(s)在s平面的极点分布来讨论该系统中当K从0增长时系统稳定性的变化。求得极点位置为:

  当K=0,pl=一2,p2=+l时,有一个极点在右半平面;当K=2,pl=一l,p2=0时,有一个极点在虚轴上;当K=9/4.pl=p2―1/2时,极点都位于左半平面上。事实上,当K2时,计算出极点或极点的实部都位于左半平面,即K9/4有共轭复数。因此.K2的系统稳定,K系统不稳定。K增长时,极点在s平面的移动过程如图2所示。

  式(6)的全部系数非零且均为正实数。对三阶系统.其充要条件是D(s)的各项系数全为正,且满足a1a2-a0a30

  BIBO判据指用BIBO稳定性来判断。在讨论时域充要条件时,并未涉及系统的因果性,这表明无论因果稳定系统或非因果稳定系统只要满足式(5)的条件,都可判断这些系统是稳定的。然而对因果系统,式(5)可改写为:

  对于因果系统,从BIBO稳定性定义考虑与考察H(s)极点分布来判断稳定性具有统一结果。当H(s)极点位于左半平面时,h(t)绝对可积,系统稳定;当H(s)绝对位于右半平面或在虚轴具有二阶以上极点时,h(t)不满足绝对可积条件。系统不稳定。当H(s)极点位于虚轴且只有一阶时称为临界稳定系统,则h(t)处于不满足绝对可积的临界状况,从BIBO判据来看,这种情况仍属于不稳定范围。

  任何系统要能正常工作,都必须以系统稳定为先决条件.所以判断系统的稳定与否十分重要,它能指导系统设计合理地选择元件参数。

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